一、样本空间与随机事件1. 随机试验随机性是一种物理现象,一般通过试验结果来呈现和观察。由于试验结果不可预测此类试验特称为随机试验,通常用字母E表示。2.样本空间由于随机性,每次随机试验的具体结果无法预知,但随机试验所有的可能结果都在一个已知的集合内。这个已知集合就是一次随机试验可能呈现的所有结果,称为样本空间记为Ω.如果某一试验结果ω∈Ω,则称ω为样本点。随机试验二元信源发送一个符号。样本空间Ω{0,1}.随机试验:二元信源发送两个符号。样本空间Ω{00,01,10,11},样本点ω01,表示第一个符号为1,第二个符号为0.其余样本点类推。3、随机事件样本空间Ω中的任一子集E⊆Ω称为随机事件简称事件。随机试验:二元信源发送一个符号。样本空间Ω{0,1},子集E{0}表示信源发出符号0这一随机事件随机试验:二元信源发送两个符号。样本空间Ω{00,01,10,11},子集E{01}表示第一个符号为1,第二个符号为0这一随机事件。二、概率的有关概念1、概率对于样本空间Ω的每个事件E,假设存在满足以下三个条件的实数P[E]:(1)0≤[E]≤1(2)[P]1(3)对于任意互不相容的事件序列E1,E2···(当n≠m时,En∩Em∅)有将P[E]称为事件E的概率简记[P]2、条件概率在事件A已经发生的条件下,事件B发生的概率,称为B对A的条件概率,记为p(B|A)。特别地,当事件A和事件B相互独立时,即无论事件A是否发生,事件B发生的概率不变,有p(B|A)p(B)条件概率示意如图所示。在样本空间Ω中有事件A和B。条件概率p(B|A)表示在事件A发生的前提下,事件B又发生的概率。此时,样本空间已经由Ω变为集合A,所求条件概率即在新的样本空间A中B发生的概率,等同于A中与B相交的部分(集合A和集合B的交集)。p(B|A) P(AB)/P(A)3、联合概率事件A和事件B同时发生的概率称为联合概率,记为p(AB),且有p(AB)p(A)p(B|A) p(B)p(A|B)4、全概率公式与贝叶斯公式三 、先验概率与后验概率先验概率是指事件B本身所具有的随机程度是不依赖与其他事件而得到的一个统计量后验概率:正好相反需要根据其他事件发生情况来推测事件B的分布是一个条件概率‘实际上贝叶斯公式所计算的概率就是后验概率四、离散随机变量1、随机变量设E是随机试验其样本空间Ω{ω}。对每个样本点ω∈Ω总存在一个实数与之对应则可以得到一个样本空间Ω到实数的单值实函数fωX简记Xω),X(ω)称为随机变量一般记为X2、离散随机变量取值为有限个或者无线个却可数这样的随机变量。3、累积分布函数对于离散随机变量X以及任意实数x(-∞x∞),F(x)P[X≤x]F(x)称为离散随机变量X的累积分布函数,简称分布函数1)分布函数F(x)是随机变量X取值小于或等于x的概率;(2)F(x)是x的非减函数;(3)lmP[X≤x]F(∞)1;(4)lim P[X≤x]F(-∞)0。五、离散随机变量的统计特性离散随机变量X的概率分布p(x)描述了随机变量取某一具体值时的随机性,但在实际应用中更关心的是群体的平均分布情况。例如,某地PM2.5的年平均浓度会比某一天PM2.5的浓度更能反映当地的空气水平。年平均浓度等概念属于随机变量的统计特性,考察的是随机变量集合的分布情况。对于离散随机变量而言,常用的统计特性有数学期望及其函数的数学期望。1、离散随机变量的数学期望设一离散随机变量X,其概率分布为p(xn)(n1,2,···,N),则离散随机变量X的数学期望定义为2、离散随机变量函数的数学期望已知离散随机变量X的概率分布p(xi)(i1,2,···,N),则X 函数f(X)的数学期望为