https://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_101.png✅ 随机微分方程的解的存在性与唯一性https://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_103.pnghttps://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_105.png对于更一般的随机微分方程dX_t μ(t, X_t) dt σ(t, X_t) dB_t我们需要理解解何时存在。李普希茨条件和线性增长条件是保证解存在且唯一的两个关键条件李普希茨条件关于空间存在常数K使得对于所有t,x,y有|μ(t,x)-μ(t,y)| |σ(t,x)-σ(t,y)| ≤ K|x-y|。线性增长条件存在常数C使得对于所有t,x有|μ(t,x)|² |σ(t,x)|² ≤ C(1|x|²)。在这些条件下随机微分方程存在唯一的强解。这意味着如果两个过程X_t和Y_t都是该方程的解那么它们几乎必然处处相等。 系数匹配法求解https://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_107.png求解随机微分方程的一个有效方法是系数匹配法。我们以几何布朗运动为例进行说明。https://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_109.pnghttps://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_111.pnghttps://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_113.png假设解具有形式X_t f(t, B_t)。对其应用伊藤公式得到dX_t的表达式。然后令这个表达式与原始方程dX_t μ X_t dt σ X_t dB_t的系数相匹配匹配dB_t的系数σ f ∂f/∂x匹配dt的系数μ f ∂f/∂t (1/2) σ² ∂²f/∂x²https://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_115.png通过求解这些方程我们可以得到f(t, B_t) X_0 exp(σ B_t (μ - σ²/2)t)这正是几何布朗运动的解。https://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_117.png一个有趣的悖论是如果漂移率μ σ²/2那么对数尺度的漂移μ - σ²/2为负。随着时间推移对数价格几乎必然趋于负无穷即价格趋于零的概率趋近于1。然而价格的期望值E[X_t] X_0 exp(μ t)却呈指数增长。这反映了金融市场中一些股票归零而少数股票暴涨的现象。https://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_119.png 奥恩斯坦-乌伦贝克过程https://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_121.png奥恩斯坦-乌伦贝克过程是一个均值回归过程的例子常用于利率建模dX_t θ (μ - X_t) dt σ dB_t这里θ是回归速度μ是长期均值水平。当X_t高于均值时漂移项为负将其拉回均值反之亦然。https://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_123.pnghttps://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_125.pnghttps://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_127.png该过程的解为X_t μ (X_0 - μ) e^{-θt} σ ∫_0^t e^{-θ(t-s)} dB_s与几何布朗运动不同OU过程具有平稳的长期分布其均值为μ方差为σ²/(2θ)。 多维随机微分方程随机微分方程可以推广到多维情况。考虑一个m维过程X_t它由n个独立的布朗运动驱动dX_t μ(t, X_t) dt Σ(t, X_t) dB_t其中μ是m维漂移向量Σ是m x n维扩散矩阵波动率矩阵dB_t是n维布朗运动向量。过程的协方差结构由矩阵Σ Σ^T给出。 总结与参考资料本节课我们一起学习了伊藤公式在一维和二维情况下的形式及其金融含义。几何布朗运动作为资产价格模型其性质和解。通过构造无风险投资组合和伊藤引理推导出布莱克-斯科尔斯偏微分方程。将布莱克-斯科尔斯方程与热传导方程联系起来并探讨了后者的求解方法。随机微分方程解的存在唯一性条件李普希茨条件和线性增长条件。使用系数匹配法求解随机微分方程并以几何布朗运动为例。介绍了均值回归的奥恩斯坦-乌伦贝克过程及其解。简要提及了多维随机微分方程的框架。https://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_129.png随机微分方程的理论在物理、工程和金融领域都有强大而广泛的应用。https://github.com/OpenDocCN/dsai-notes-pt2-zh/raw/master/docs/mit-18642-math-fin-app/img/771f6599f7f924389935eb070abff2ca_131.png推荐参考资料Øksendal, B.Stochastic Differential Equations(侧重数学与物理应用)Hull, J.C.Options, Futures, and Other Derivatives(金融应用经典)Shreve, S.E.Stochastic Calculus for Finance II(深入的金融数学教材)